Fra terningekast til forsikringsmodeller

Hvis man kaster gentagne gange med en terning, hvor mange kast skal der så til for at en bestemt sekvens dukker op for første gang? F.eks. antallet af kast indtil “56” eller “66” fremkommer for første gang. Her er det forventede antal kast henholdvis 36 og 42. Når chokket over at de er forskellige har lagt sig, når man hurtigt frem til at forskellen skyldes afhængighed mellem hændelserne. Jeg vil vise jer hvordan man let kan udregne disse forventede tider ved brug at et fair-play argument, som også bruges ved prisfastsættelse af reserver og præmier i forsikring, og i finansiering. Her kendes under navnet martingalmetoder.

Fair-play metoden er god nok til at finde de forventede værdier, men den giver os ikke fordelingen, dvs. sandsynlighederne for, antallet af kast. Til dette formål opstiller vi en såkaldt Markov kæde, hvor vi specielt er interesserede i ventetiderne på at Markov kæden tager en speciel værdi for første gang. Dette kunne f.eks. være “56” eller “66”, og hvor Markov kæden så er “processen"" der holder styr på den nuværende og den foregående kastværdi (begge to). Vi udleder formler for disse fordelinger.

Mere alvorligt kunne tilstandene i Markov kæden også en forsikret persons tilstand, hvorved “56” eller “66” tilstanden så erstattes med “død”! Andre tilstande i kæden kunne f.eks. så være “aktiv” og “syg”. Vi opstiller nogle simple forsikringsmodeller som anvendes i forsikringsbranchen.