Hvordan kan man bevise, at noget ikke findes?

Det er som regel ret nemt at vise eksistensen af et matematisk objekt ved at konstruere det. Et klassisk eksempel involverer konvekse rumlige figurer, som er en særlig form for rumlig figur uden indhak. Man kunne spørge, om der findes figurer, hvis samtlige sideflader udgøres af ligesidede trekanter. Et fluoritkrystal (som det kan ses i ovenstående billede ved siden af David Hilbert) har formen af et såkaldt oktaeder, hvor 8 trekanter danner dens overflade. Altså ved vi at sådanne figurer findes. Faktisk er oktaederen ikke den eneste figur med denne egenskab. Allerede de gamle ægypter kendte til det såkaldte ikosaeder, hvis samtlige 20 sideflader er trekanter. Mange moderne spil bruger disse figurer som terninger, og I ved måske at der findes flere figurer af denne slags, hvor man også må bruge regulære (ligesidede) firekanter, femkanter, osv.

Allerede oldgrækerne viste, at der kun findes 5 konvekse figurer, hvis samtlige sideflader udgøres af regulære polygoner. Hvordan kunne de vide det? For at vise eksistensen kan vi konstruere figuren, men hvad skal man gøre for at modbevise eksistensen af noget?

I oplægget diskuterer vi mange forskellige matematiske problemer, hvor der skal vises, at noget ikke findes. For eksempel taler vi om visse stillinger i brætspillet solitaire er mulige, og prøver kræfterne med et uendelig solitairespil.

Den afgørende matematiske idé når man skal vise ikke-eksistensen er såkaldte invarianter, og vi diskuterer brugen af disse også for nogle dybe matematiske problemer, blandt andet det berømte spørgsmål, om man kan beregne rumfang af alle figurer i rummet med plane sideflader ved at skære figuren i endelig mange stykker og sætte dem sammen til en kasse.