Topologi - Kugler, kaffekopper og Kleinflasker

Topologi er en gren af matematikken som beskæftiger sig med former og objekter såsom kugler, donuts, kaffekopper, Möbiusbånd og Kleinflasker. Vi tillader, at man hiver og strækker i objekterne så længe, man ikke river noget i stykker eller laver nye huller. Tænk på objekter lavet ud af elastisk modellervoks der kan strække sig så so meget som vi lyster, men ikke kan rives i stykker. Overfladen på en terning er således det samme som overfladen på en kugle (glatte hjørner og kanter ud) og overfladen på en salatskål (tryk ned på toppen af kuglen så der skabes en fordybning til salaten). Tilsvarende er en donut det samme som en kaffekop, hvis man spørger en topolog (koppens hank bliver til hullet i donuten) -- selvom det i praksis måske er lidt problematisk at hælde kaffe på en donut.

Til foredraget skal vi se på en masse eksempler, og se hvordan man kan knytte et tal kaldet "Euler-karakteristikken" til ethvert af objekterne således at ækvivalente objekter får samme tal. Hvis vi så finder to objekter der har forskellige tal -- f.eks. en kugle og en donut -- ved vi, at uanset hvor snedig man er, kan man ikke lave det ene objekt om til det andet uden at rive ting over.

Vi kommer til at træne rumlig fornemmelse og klippe-klistre en masse trekanter og polygoner. Dog klippe-klistrer vi på tavlen og i vores tanker, for ikke alle objekter kan konstrueres med papir i vores dagligdags tre dimensioner -- slå f.eks. Klein-flasken op på Wikipedia.